解：将$x+1$代入得：$y_{2}=k(x+1)+b$
∴$y_{2}-y=k(x+1)+b-kx-b=k$
∵$y_{2}-y=2$
∴$k=2$
故小明这种确定$k$的方法有道理的$.$
①∵一次函数的图象经过$(-1$，$1)$、$(0$，$-1)$两点，
∴$b=-1$，
∵$x$从$-1$变成$0$时，函数值从$1$变为$5$，增加了$-1$，
因此该一次函数中$k$的值是$-2$，
∴一次函数$y=-2x-1.$
$②$把$(-1$，$1)$、$(0$，$-1)$代入$y=kx+b$
得$\begin {cases}{-k+b=1}\\{b=-1}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{k=-2}\\{b=-1}\end {cases}$
∴一次函数为$y=-2x-1$
