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证明 ∶ ∵​$AM=2\ \mathrm {MB}$​，​$ AN=2\ \mathrm {NC} $​，​$ AB=AC$​
∴​$AM=AN$​
∵​$AD$​平分​$∠BAC$​
∴​$∠MAD=∠NAD$​
在​$△AMD$​和​$△AND$​中
​$\begin {cases}{A M=A N}\\{∠M A D=∠N A D}\\{A D=A D}\end {cases}$​
∴​$△AMD ≌△AND(\mathrm {SAS})$​
∴​$DM=DN$​
证明：​$(1)$​∵​$AD//BE$​
∴​$∠A=∠B$​
在​$△ACD$​和​$△BEC$​中
​$\begin {cases}{AC=BE}\\{∠A=∠B}\\{AD=BC}\end {cases}$​
∴​$△ACD≌△BEC(\mathrm {SAS})$​
​$(2)CF⊥DE$​，理由如下：
∵​$△ACD≌△BEC$​
∴​$CD=CE$​
又∵​$CF $​平分​$∠DCE$​
∴​$CF⊥DE$​
解 ∶ ∵​$△ABC$​和​$△ADE $​均是等边三角形​$ $​
∴​$A B=A C=B C$​，​$ A D=A E$​，​$ ∠BAC=∠DAE=60° $​
∴​$∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD$​，​$ $​即​$∠BAD=∠CAE$​
在​$△ABD$​和​$△ACE$​中
​$\begin {cases}{A B=A C}\\{∠B A D=∠C A E}\\{A D=A E}\end {cases}$​
∴​$△ABD ≌△ ACE(\mathrm {SAS})$​
 ∴​$BD=CE$​
∴​$AC+CD=CE$​
证明：​$ (1)$​∵​$△A B C≌△A' B' C'$​
∴​$∠B=∠B'$​，​$ A B=A' B'$​，​$ B C=B' C'$​
∵​$A D $​、​$ A' D'$​分别是​$△A B C $​和​$△A' B' C'$​的中线
∴​$B D=B' D'$​
在​$△ABD$​和​$△A'B'D'$​中
​$\begin {cases}{A B=A' B'}\\{∠B=∠B' }\\{B D=B' D'}\end {cases}$​
∴​$△ABD≌△A'B'D'(\mathrm {SAS})$​
∴​$AD=A'D'$​
​$(2)$​全等三角形的对应边上的中线相等
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