解：$(1)$当$x=5$时，
代数式$=2[\frac {m(5-4)}3-1]+\frac {m}5=2(\frac {m}3-1)+\frac {m}5$
$=\frac 23m-2+\frac {m}5$
$=\frac {13}{15}m-2$
当$x=4$时，
代数式$=2[\frac {m(4-4)}3-1]+\frac {m}5=-2+\frac {m}5.$
$(2)$由题意得对于$x$的任意取值，代数式的值都相等，则$m=0$，
此时代数式$=-2.$
