解：$(1)$由图像可知，每次跳的高度为$5\ \mathrm {cm}$，
每跳一次所做的功为：$W=Gh=480\ \mathrm {N}×5×10^{-2}\ \mathrm {m}=24\ \mathrm {J}$；
由图像可知，在$0.4\ \mathrm {s} $内完成一次跳绳动作，
所以在$1 \mathrm {\mathrm {min}}$内跳绳的次数：
$n=\frac {60\ \mathrm {s}}{0.4\ \mathrm {s/}次}=150$次；
克服重力做功为：
$W'=150W=150×24\ \mathrm {J}=3600\ \mathrm {J}$
