解:$(1)$∵$∠AOB=90°$,$∠AOC=60°$
∴$∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°$
∵$ON$平分$∠AOC$,$OM$平分$∠BOC$
∴$∠COM=\frac {1}{2}∠BOC=\frac {1}{2}×150°=75°$,
$∠CON=\frac {1}{2}∠AOC=\frac {1}{2}×60°=30°$
∴$∠MON=∠COM-∠CON=75°-30°=45°$
$(3)②$根据题意,得$x+\frac {1}{2}x=156$,解得$x=104$
∴$∠MON=\frac {1}{2}×104°=52°$