解:$(1)$∵$∠BOE=90°$
∴$∠AOE=180°-90°=90°$
∵$∠AOC=20°$
∴$∠EOC=90°-20°=70°$,$∠AOD=180°-20°=160°$
∵$OF $平分$∠AOD$
∴$∠FOD=\frac {1}{2}∠AOD=\frac {1}{2}×160°=80°$
$(2)$当$∠AOC=60°$时,$∠BOD=60°$
∴$∠AOF=∠FOD=60°$
∴$∠EOF=∠AOE+∠AOF=90°+60°=150°$
设当射线$OE$与射线$OF $重合时至少需要$t s$
根据题意,得$10°t-3°t=360°-150°$
解得$t=30$
答:当射线$OE$与射线$OF $重合时至少需要$30s$