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解：$(1)$设刘伟植了$x$棵树，由题意得$x+(x+15)=75$

$(2)$设小玉买了$x$枚$80$分的邮票，由题意得$0.8x+(x-2)=16$

x=1

$2024x-\frac {x+2023}{2024}=2023$

解：$(2)$方程$100x-\frac {x+99}{100}=99$的解为$x=1$

证明：$100x-\frac {x+99}{100}=99$

$1000x-x-99=9900$

$9999x=9999$

$x=1$

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