解:$(1)$∵$|a|=1$,$|b|=2$,$|c|=3$
∴$a=±1$,$b=±2$,$c=±3$
∵$a>b>c$
∴$①a=1$,$b=-2$,$c=-3$,∴$a-b+c=0$;
$②a=-1$,$b=-2$,$c=-3$,∴$a-b+c=-2$
∴$a-b+c $的值是$0$或$-2$
$(2)$∵$|a-1| +|b-3|+|3c-1| =0$
∴$a-1=0$,$b-3=0$,$3c-1=0$
∴$a=1$,$b=3$,$c=\frac {1}{3}$
∴$a+b-c=\frac {11}{3}$