解:$(1)$∵$|a|=4$,$|b|=6$
∴$a=4$或$a=-4$,$b=6$或$b=-6$
则$a+b=10$或$-2$或$2$或$-10$
$(2)$由$(1)$知$a=±4$,$b=±6$
∵$|a-b|=|a|+|b|$
∴$a$,$b$异号
∴$a=4$,$b=-6$或$a=-4$,$b=6$
∴$a-b=4-(-6)=4+6=10$,或$a-b=-4-6=-10$
$(3)$∵$|a+b|=a+b$
∴$a+b≥0$
由$(1)$知$a=±4$,$b=±6$
∴$a=4$,$b=6$或$a=-4$,$b=6$
∴$a-b=4-6=-2$,或$a-b=-4-6=-10$