解:$(1)$根据杠杆的平衡条件:$ F×OB=G×OA$,
即$ F×1\ \mathrm {m}=200\ \mathrm {N}×0.3\ \mathrm {m}$,得$F=60\ \mathrm {N}. $
$(2)$设重物悬挂点到支点$О$的距离为$L $时,绳$BC$恰好断裂,
根据杠杆的平衡条件:$F'×OB=G×L$,即$150\ \mathrm {N}×1\ \mathrm {m}=200\ \mathrm {N}×L$,
得$L=0.75\ \mathrm {m}.$