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解：如图所示

$证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C= 90°$

$∴DC= DE$

$在△DCF 和△DEB中$

$\begin{cases}{DC=DE }\\{∠C=∠BED} \\ {CF=BE} \end{cases}$

$∴△DCF≌△DEB(\mathrm {SAS})$

$∴BD= DF$

$证明：(1)如图，过点O作OE⊥AC于点E$

$∵∠ABD=90°，AO平分∠BAC，∴OB=OE$

$∵点O为BD的中点，∴OB=OD$

$∴OE=OD，∴CO平分∠ACD$

$(2)在Rt△ABO和Rt△AEO中$

$\begin{cases}{AO=AO } \\ {OB=OE} \end{cases}$

$∴Rt△ABO≌Rt△AEO(\mathrm {HL})，∴∠AOB=∠AOE$

$同理求出∠COD=∠COE$

$∴∠AOC=∠AOE+∠COE=\frac{1}{2}×180°=90°$

$∴OA⊥OC$

$(3)∵Rt△ABO≌Rt△AEO，∴AB=AE$

$同理可得CD=CE$

$∵AC=AE+CE，∴AB+CD= AC$