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1.5

$证明：(1)如图，过点P 作PD⊥BC于点D$

$∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P，且PE⊥AB，PF⊥AC$

$∴PD= PE，PD= PF$

$∴PE= PF$

$(2)∵PE= PF，PE⊥AB，PF⊥AC$

$∴AP 平分∠BAC$

$∵∠BAC= 60°$

$∴∠EAP=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$

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$解：(2)∵△PMN的面积是16，MN=8$

$∴\frac{1}{2}MN\ \cdot\ PD=16，即\frac{1}{2}×8×PD=16$

$∴PD=4$

$∴PD=PC=PE=4$

$∵△OMN的面积是24$

$∴四边形MONP 的面积=△PMN的面积+△OMN的面积=16+24=40$

$∴△POM的面积+△PON的面积=40$

$∴\frac{1}{2}OM\ \cdot\ PC+\frac{1}{2}ON\ \cdot\ PE=40$

$∴\frac{1}{2}OM×4+\frac{1}{2}ON×4=40$

$∴OM+ON=20$

$∴线段OM与ON的长度之和为20$