$解：(1) 当点 P 在 C D 上时$
$\triangle P B F 的面积 为 S=6 \mathrm{cm}^{2}$
$则有 \frac{1}{2} ×BF ×4=6$
$解得 BF=3 \mathrm{cm}\ $
$当 t= 1 时，S=\frac{3}{2} \mathrm{cm}^{2}，BP=a \mathrm{cm}$
$则有 \frac{1}{2} ×BF ×BP=\frac{3}{2}$
$即 \frac{1}{2} ×3a=\frac{3}{2}$
$解得 a=1\ $
$∴线段 B F 的长为 3 \mathrm{cm}，a 的值为 1\ $
$(2)当 0＜t≤4时，点P在BC边上运动$
$S=\frac{1}{2} ×B F ×B P= \frac{1}{2} ×3 ×t=\frac{3}{2}\ \mathrm {t}\ $
$当 4＜t≤8时，点P在CD边上运动$
$此时面 积 S=\frac{1}{2} ×B F ×B C=\frac{1}{2} ×3 ×4=6\ $
$当 8＜t≤10时，点P在线段DE上运动$
$S=\frac{1}{2} ×B F ×A P=\frac{1}{2} ×3 ×(12-t)=18-\frac{3}{2}\ \mathrm {t}\ $
$综上，S=\begin{cases}{\frac{3}{2}\ \mathrm {t}(0＜t≤4)}\\{6(4＜t≤8)}\\{18-\frac 32t(8＜t≤10)}\end{cases}$
$(3) 当 S=4 \mathrm{cm}^{2} 时，$
$①当0＜t≤4时， \frac{3}{2}\ \mathrm {t}=4，解得 t=\frac{8}{3}\ $
$②当8＜t≤10时， 18-\frac{3}{2}\ \mathrm {t}=4，解得 t=\frac{28}{3}\ $
$∴当 t=\frac{8}{3} 或 t=\frac{28}{3} 时，\triangle P B F 的面积 S 为 4 \mathrm{cm}^{2}\ $
