解：$(1)$当$S_2=250\ \mathrm {cm^2}=2.5×10^{-2}\ \mathrm {m^2}，$大气对容器底部的压力：
$F=p_{大气}S_2=1.0×10^5\ \mathrm {Pa}×2.5×10^{-2}\ \mathrm {m^2}=2500\ \mathrm {N}；$
容器口处的水产生的压强：
$p=ρ_{水}\ \mathrm {gh}_2=1×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}×0.08\ \mathrm {m}=800\ \mathrm {Pa}；$
$(2)S_1=200\ \mathrm {cm^2}=2.0×10^{-2}\ \mathrm {m^2}，$进入容器中水的重力：
$G_{水}=ρ_{水}\ \mathrm {gV}_{水}=ρ_{水}\ \mathrm {gS}_1(h_2-h_1)=1×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}×2×10^{-2}\ \mathrm {m^2}×(0.08\ \mathrm {m}-0.05\ \mathrm {m})=6\ \mathrm {N}，$
将柱形容器和进入容器中的水看做一个整体，整体受到的浮力：
$F_{浮}=ρ_{水}\ \mathrm {gV}_{排}=ρ_{水}\ \mathrm {gS}_2\ \mathrm {h}_2=1×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}×2.5×10^{-2}\ \mathrm {m^2}×0.08\ \mathrm {m}=20\ \mathrm {N}，$
整体漂浮在水中，$F_{浮}=G_{总}=G_{容}+G_{水}，$
所以容器的重力：
$G_{容}=F_{浮}-G_{水}=20\ \mathrm {N}-6\ \mathrm {N}=14\ \mathrm {N}；$
所受浮力：
$F_{浮}'=G_{容}=14\ \mathrm {N}$
$(3)V_排'=\frac {F_浮''}{ρ_水g}=\frac {(20+10)\ \mathrm {N}}{1×10^3\ \mathrm {kg/m^3}×10\ \mathrm {N/kg}}=3×10^{-3}\ \mathrm {m^3}$
$h=\frac {V_{排}'}{S_{2}}=\frac {3×10^{-3}\ \mathrm {m^3}}{250×10^{-4}\ \mathrm {m^2}}=0.12\ \mathrm {m}$
