第55页 - 创新优化学案九年级数学苏科版

解：$(1)$错误，$△ABC$不一定是直角三角形

$ (2)$错误，$tan A$有$3$组不同线段的表示方法

$ tan A=\frac {CD}{AD}=\frac {BC}{AC}=\frac {BD}{CD}$

解：根据题意设$AD=CD=x$

∵$tan α=\frac {CD}{BC}=\frac 12$

∴$BC=2x$

在$Rt\triangle BCD$中，$BD=\sqrt {BC^2+CD^2}=\sqrt{(2x)^2+{x}^2}=\sqrt{5}x$

在$Rt\triangle ABD$中，$\tan β=\frac {AD}{BD}=\frac {x}{\sqrt{5}x}=\frac {\sqrt{5}}{5}$

解：$(1)$如图，过点$A$作$AD⊥BC$于点$D$

∵$AB+AC+BC=36\ \mathrm {cm}，$$AB=AC=13\ \mathrm {cm}$

∴$BC=10(\ \mathrm {cm})$

∵$AB=AC，$$AD⊥CB$

∴$BD=CD=\frac 12BC=5(\ \mathrm {cm})$

∴$AD=\sqrt {AB^2-BD^2}=\sqrt {13^2-5^2}=12(\ \mathrm {cm})$

∴$tan∠ABC=\frac {AD}{DB}=\frac {12}{5}$

$(2)$过点$C$作$CF⊥AB$于点$F$

∵$S_{△ABC}=\frac {1}{2} · BC · AD=\frac {1}{2} · AB · CF$

∴$CF=\frac {10×12}{13}=\frac {120}{13}(\ \mathrm {cm})$

∴$AF=\sqrt {AC^2-CF^2}=\sqrt {13^2-(\frac {120}{13})^2}=\frac {119}{13}(\ \mathrm {cm})$

∴$tan∠BAC=\frac {CF}{AF}=\frac {\frac {120}{13}}{\frac {119}{13}}=\frac {120}{119}$

即$∠BAC$的正切值为$\frac {120}{119}$

$(1)$证明：∵四边形$ABCD$为平行四边形

∴$AB=CD，$$AB//CD$

∴$∠BAE=∠DCF$

在$△ABE$和$△CDF $中

$\begin{cases}{AB=CD}\\{∠BAE=∠DCF}\\{AE=CF}\end{cases}$

∴$△ABE≌△CDF(\mathrm {SAS})$

$(2)$∵$\frac {CH}{BH}=3$

∴$CH=3BH$

∵$CH⊥AB$于点$H$

∴$∠H=90°$

∴$BC^2=BH^2+CH^2$

∵$BC=\sqrt{10}$

∴$(\sqrt{10} )^2=BH^2+(3BH)^2$

解得$BH=1($负值舍去)

∴$CH=3$

在$ Rt △ACH$中，$tan ∠CAB=\frac {CH}{AH}=\frac {3}{4}$

∴$AH=4$

∴$AB=AH-BH=4-1=3$

∴$S_{▱ABCD}=AB · CH=3×3=9 $